実数の連続性とε-δ論法

微分積分学の試練 実数の連続性とε-δ

2018年度版の講義ノート： 2018/04/09 更新

実数の連続性とε-δ論法（最新版）

更新内容：
・ボリュームがありすぎたため１割程度カットしました。
　削除された部分は、2018/02/27バージョンに残っています。
・削除後の整合性を取るために、色々と書き加えました。
・前書きと索引を加えました。

新バージョン（2018/04/09版）についての指摘および誤植（最終更新日：2018/08/29）

はじめに
・p.2　-3行目：　誤：最大値最小値　正：最大値・最小値
・p.4　-3行目：　「さしつかえ」は漢字のほうが読みやすいのではないか。

１章
・p.15　定義1.4.1：　中央揃えの文にピリオドなし。
・p.15　定義1.5.1
　　　　「すなわち, A∪B={x∈X|x∈A または x∈B}」は削除。
　　　　「すなわち, A∩B={x∈X|x∈A かつ x∈B}」は削除。
　　　　 誤：　A-B:={x∈X|x∈A かつ  ¬(x∈B)}　正：A-B:={x∈A|x∈A かつ  ¬(x∈B)}
・p.16　命題1.5.4証明：　qed記号の前に無意味な改行がある。
・p.17　定義1.6.1：　誤：　A1, A2 …, An　正：A1, A2, …, An
・p.19　練習1.9.3証明：　-1行目：　最後の「∩」は「∪」の間違い。
・p.20　7行目：　「とれば」は証明内の他部分と合わせて、漢字のほうがよいか。

２章
・p.22　事実2.2.1　誤：a+0=0　正：a+0=a
・p.22 -2行目：　「実数を」は「実数xを」のほうがよい（二ヵ所）。
・p.24　例2.3.2の直後：　誤：M∈ＲがXの最大元でない　正：M∈ＲがA⊂Ｒの最大元でない
・p.25　命題2.3.4の証明において、最小限についての言及がないのはいかがなものか。
・p.25　定義2.4.1　3行目：　また, lが「∈Ｒ」が次の条件を満たすとき,
・p.26　7行目：　v「の」ように
・p.26　9行目：　l∈RがA「⊂Ｒ」の下界でない
・p.28　5行目：　誤：X　正:A
・p.30　3行目：　定義が与え「ら」れた無理数
・p.30　例2.6.3証明：　証明の冒頭で q>0 である理由を言及したほうが望ましい。
　　　　　　　　　　　「自身の二乗」は「自乗」と書いたほうがよいのではないか。
・p.30　補題2.6.4：　主張の仮定に「q>0」を加える。
・p.31　定理2.8.1：　a,bが実数であることの説明があった方がよいか（±∞ではない）。
・p.31　-2行目：　含まれる「か」否か
・p.20　(iv)：　「とる」は証明内の他部分と合わせて、漢字のほうがよいか。
・p.32　(iv)では「Xは空でないことから」と書き、(vi)では「Xが空でないことから」と書いている。
・p.33　交換法則を暗黙理に何度も適用しているが、これに言及がないのはいかがなものか。
・p.33　11行目：　誤：(-1)+1a　正：(-1)a+1a
・p.33　命題2.2.2(13)にピリオドなし。
・p.35　練習2.10.5(2)　2行目：　ピリオドと括弧閉じの間に不要なスペースがある。

３章
・p.39　3行目：　誤：一片　正：一辺
・p.40　例3.3.3(2)の説明も　proof〜□で挟んだ方が良いのではないか。
・p.42　脚注にピリオドなし。
・p.48　命題3.8.4証明：　「(2):」に空白がある。
・p.50　補題3.8.12証明：　最後に命題3.8.4(3)の引用があるが、ここでは(2)も用いている。
・p.51　練習3.9.1証明(6)：　最初のコロンをピリオドにし、最初のピリオドをコロンにしたほうがよい。

４章
・p.55　最後の図において、×10^(-5) と ×10^5 が逆になっている。
・p.56　定理4.2.4証明　4行目：　誤：補題4.2.3(3)から　正：補題4.2.3(2)から
・p.57　2行目：　誤：次は定理は　正：次の定理は
・p.58　定理4.4.2証明　-4行目：　誤：右半分か左半分　正：上半分か下半分
・p.60　命題4.6.3の証明で下界の記号としてｍをもちいたが, ｍは証明の冒頭で別の記号としても用いており
　　　　下界の記号は別の文字に書き換えたほうがよいのではないか。
・p.62　コラム：　定めること「が」できる
・p.62　-1行目：　誤：{a_n|　正：|a_k|
・p.63　練習4.8.4　級数とその極限に同じ記号を用いるのは避けた方がよい。

５章
・p.67　-2行目：　直前の句と照らして、「同義語に用いる」は「同義語として用いる」のほうがベター。
・p.69　定義5.3.5　1行目：　誤：y　正:b
・p.70　補題5.4.4証明：　(⊃)においてコロンが抜けている。
・p.78　練習5.10.2：　誤：逆写像のＢによる像　正：逆写像によるＢの像　（直後の逆像についても同様）
・p.78　-2行目：　誤：g-1の逆写像における像 (g-1)-1(A)=f(A)　正：gの逆写像における像 g-1(A)=f(A)

６章
・p.85　3行目：　「時計周り」→「時計回り」
・p.86　命題6.6.2証明　2行目：　Pまで「の」回転させた際　（「の」は不要か）
・p.87　4,5行目：　誤：角　正：角度　（２ヶ所）
・p.88　練習6.7.2証明　-2行目：　誤：f(x)≧f(x)　正：f(x)≧f(x0)

７章
・p.90　定義7.1.1　-1行目：　「x→aにおけるf(x)の極限」におけるf(x)の前にわずかな空白あり。
・p.91　例7.1.3：　ここに現れるaは0のこと。
・p.91　備考7.1.4：　中央揃えにおけるf(x)の場合分け定義の３行目はピリオド不要。
・p.93　命題7.2.1証明　-1行目：　誤：(2)と同様に　正：いまと同様に
　　　　　　　　　　　　　　　　（(2)の証明はまだ終わっていないから）
・p.93　命題7.2.2　証明 -2行目：　二つ目の条件(7.2)は(7.1)の間違い。
・p.94　命題7.2.3証明　3行目：　中央揃えのfは、hにしたほうが分かりやすい。
・p.94　命題7.2.6証明　2行目冒頭：
　　　　　　　「7.2.1(4)」は「7.2.1(3)」のほうがより適切か。
　　　　　　　また、命題7.2.3を適用するのは直後の式変形の際ではなく、はさみうちの原理を適用した後ではないか。
・p.94　定義7.3.1　2行目：　f_+の定義域はYではなくY_+
・p.95　命題7.3.3(2)：　本書では「x→a+」を主に用いているが。ここでは「x→a+」になっている。
・p.95　13行目：　カンマよりもピリオドのほうが適切か。
・p.97　命題7.4.8：　g(f(x))は、命題7.2.2の文に合わせてg○f(x)にしたほうがよい。
・p.99　練習7.5.5証明　4行目：　誤：xn＞M かつ f(xn)≦n　正：xn＞n かつ f(xn)≦M

８章
・p.100　8.1節　2行目：　「いいかえれば」は漢字のほうが読みやすいのではないか。
・p.102　命題8.2.4のピリオドの前に無意味な空白がある。
・p.102　命題8.2.4証明　2行目：　「命題7.2.2」は「命題7.2.3」の間違い。
　　　　　　　　　　　　　　　　（命題7.2.3の(1)と(5)の同値性を用いる。）
・p.104　図に原点Ｏの記述なし。
・p.104　例8.4.2：　f(x)の場合分け定義の上段は改行前にカンマがあった方がよいのではないか。
・p.105　1行目：　連続関数ｆ「の」グラフと〜
・p.105　例8.4.3証明　2行目：　無理数列 a_n 「が」とれる
・p.106　練習8.5.1証明：　証明において、a_n は不要ではないか。

９章
・p.108　3行目：　中間値「の」定理
・p.109　-1行目：　分配法則「に」よる
・p.110　命題9.3.3証明(2)：　kについては := として、lについては = とするのはいかがなものか。
・p.112　4行目：　「ｍ＜−ｎ」→「０＜ｍ＜−ｎ」
・p.113　命題9.6.2証明(3)：　冒頭のコロンのあとの空白がここだけ狭い。　
・p.116　4行目：　b'nの直後のカンマは不要か。
・p.116　9.9節　3行目：　数を「次」のように定める
・p.119　9.11節　4行目：　容易に求められる（ピリオドなし）

１０章
・p.126　図10.1：　原点Ｏは、ここでは0としていた。
・p.127　定義10.3.1(3)：　ピリオドの位置は括弧の前のほうが適切か。
・p.127　備考10.3.3：　(X,d)をXと略してよい、との説明の前に、略してしまっている。
・p.128　-11行目：　このよう「に」して
・p.129　命題10.4.8(2)：　誤：はは同値である　正：は同値である
・p.129　命題10.5.2証明　-1行目：　0が太字になっている。
・p.130　例10.6.6(3)(4)　：μとνの添え字が抜けている。
・p.130　例10.6.6(3)証明　4行目： μの添え字が抜けている。
・p.132　例10.7.5：　各箇条書きのピリオドの位置が他の扱いと違う。
・p.133　枠内 1行目：　二つ「の」地点
・p.134　10.8節 2行目：　ピリオドなし。
・p.134　命題10.8.2後の【発展】　-2行目：　述べ「ら」れる
・p.136　定理10.8.7(3)証明　-2行目：　等式(3)「の」右辺
・p.136　命題10.8.8(1)：　末尾はカンマのほうが適切か。
・p.136　枠内の中央揃え式：　f が g なっている。
・p.137　練習10.9.3(1)：　誤：f1(x), f2(x) …, fn(x)　正：f1(x), f2(x), …, fn(x)
 　　　　練習10.9.3(2)：　誤：x1, x2, …xn　正：x1, x2, …, xn
　　　　 練習10.9.3(2)証明：　誤：pr_i H = f_i pr_i　正：pr_i H = f_i
・p.137　練習10.9.5証明：　pr_2 L=bという表現はよいのか（関数と定数を等号でつないでいる）。
　　　　　　　　　　　　　 答え：代数学では、このような使い方をします。

１１章
・p.140　備考11.13の直後：　「10.3節で与えた」は、正しくは10.4節。
・p.142　定義11.2.2直後の【備考】の後半「閉集合の補集合は開集合である」は
　　　　 直前に書いた定義そのものであり、なにゆえそれを復唱したのか。
・p.142　-3行目：　「開集合」→「開（閉）集合」　（２ヵ所）
・p.142　例11.2.4(1)：　U_2の末尾をカンマに、U_3の末尾をピリオドに。
・p.143　脚注にピリオドなし。
・p.145　練習11.4.1(2)証明：　一ヵ所だけε-近傍の表記が N(x,δ)となっており、添え字のdがついていない。
・p.146　命題11.4.2証明：　(1)のみ、ε-近傍の添え字にdがつかないのはおかしい。
・p.148　定義11.5.3：　「(X,d)の」も太字にした方がベターか。
・p.152　練習11.8.8　1行目：　「〜について, 〜について」というふうに重なり、読みにくい。
・p.153　練習11.8.12証明　3行目：　誤：Ｇ　正：Ｇ_x
・p.153　-3行目：　誤：(1)より　正：練習11.8.14より

１２章
・p.155　-7行目：　aが太字になっている。
・p.158　命題12.2.5証明：　(2)の証明の冒頭は「(2): 」とすべきだったのでは。
・p.159　命題12.2.8(2)：　誤：Ｕ_λ　正：Ｆ_i
・p.160　8行目：　「l∞ノルム」→「l∞-ノルム」
・p.160　定理12.4.5証明：　1, -1行目：　a2,m の後にカンマがない。
・p.160　命題12.4.1(1)証明：　誤：c^2 d^2　正：a^2 d^2
　　　　　　　　　 (2)証明：　誤：b±c　正：b±d
・p.160　-5行目：　|f(x)-f(y)|に現れるx,yは太字。
・p.161　命題12.4.3証明　3行目：　「(←): また A:=f^{-1}(B)」における「また」は不要か。
・p.162　例12.5.3証明：　誤：4.1節において　正：4.2節において
・p.162　-4行目：　A=φ「の」場合は明らか
・p.163　練習12.6.3の証明に現れる N≧0 は M の間違い（計４ヶ所）
・p.163　4行目：　ベクトルxが細字になっている。
・p.163　練習12.6.4証明：　任意のδ＞０「に」ついて

１３章
・p.168　5行目：　誤：系12.2.6(1)　正：系12.2.6(2)
・p.168　定理13.2.1の別証明　2行目：　縮小列 I_n は、 I_0 からではなく I_1 から。
・p.169　定理13.3.1：　∀∃型の命題だが、この書き方ではカンマがないため∃∀型にも読める。
・p.168　5行目：　誤：12.2.6(1)　正：12.2.6(2)
・p.170　命題13.3.4証明後：　これら「の」定理の証明は
・p.171　補題13.4.4証明(1)　3行目の中央揃え：　m は不要。
・p.172　例13.4.6証明：　途中、ノルムに添え字がつかないものが一つある。
・p.172　例13.4.9(1)：　例12.1.8に挙げた図形のうち、Ｓ0は不連結である。
・p.174　定理13.5.1の証明　6行目：　「置けば」の後のピリオドはおかしい。
・p.175　練習13.6.3証明：　f(x)の定義における場合分けの下段末尾カンマは不要か。

１４章
・p.176　7行目：　議論を経る
・p.178　系14.2.2(2)：　太字にすべきＣが細字になっている。
・p.178　系14.2.2の(1)⇒(2)は定理14.1.8と同様に示せるゆえ、３行にわたる証明は不要である。
・p.178　定理14.2.4：　X≠φの仮定が必要（命題14.2.5下の備考も同様のことが言える）。
・p.180　定理14.3.3証明　4-5行目：　括弧内の文の末尾は「〜からである」とするのが適切か。
・p.180　定理14.3.3証明　-7行目：　f(b)は b の間違い。
・p.180　定理14.3.3証明　-2行目：　最後の「=a」は不要。
・p.180　最後の行のfの定義式の場合分けにおいて、一段目末はカンマを打った方がよい。
・p.182　脚注　3行目：　誤：14.18　正：14.5.4
・p.183　14.5節：　2行目の「できるのでは〜と思う」は削除（削除し忘れ）。
・p.185　定理14.6.4　証明　-1行目：　誤：定値数列　正：定値点列
・p.186　2行目：　誤：ak　正：ak+1
・p.187　補題14.7.2証明　1行目：　左辺→右辺
・p.189　練習14.8.5　証明　2行目：　誤：点列x_1, x_2 …　正：点列x_1, x_2, …
・p.189　練習14.8.5　証明 (Step2) 2行目：　誤：N(x^2_i, 1)　正：N(x^2_i, 1/2)
・p.189　練習14.8.5　証明 (Stepk) 1行目：　a_nk-1の前にカンマがない。

１５章 
・p.194　15.2節　1行目：　議論を経る
・p.197　命題15.5.1証明　1行目：　誤：x+h　正：α+h
・p.200　5行目：　g(K)の括弧内に不要な空白がある。　
　　　　　　　　　最後の ε/|α| は ε/(3|α|) の間違い。
・p.200　定理15.6.3証明　-3行目：　δには絶対値が必要
・p.201　8行目：　総和の式における一部が k になっている（正しくは n ）。
・p.201　9行目：　誤：n→0　正：n→∞
・p.201　-1行目：　分母の g(θ1) は g'(θ1) の間違い。
・p.202　-4行目：　誤：x-R_3　正：x+R_3
・p.202　-3行目：　誤：|R_n|　正：|R_3|
・p.203　図15.1：　ｆ「のグラフ」とｘ軸に挟まれた領域
・p.206　定理15.10.1証明：　後半の左極限の証明において変数がzではなくxになっている。

１６章
・p.208　2行目：　誤：量が短くなる　正：量が少なくなる
・p.208　-2行目：　「主旨」→「趣旨」
・p.209　「量化子を含む論理式の構成手順」枠内の「論理式」という語句は、
　　　　　すべて「命題」に置き換えて統一したほうがよかった。
　　　　　また、枠の題目はピリオド止めが適切か。
・p.210　脚注：　誤：「∃y∈Y, ∀x∈X P(x,y)」　正：「∃y∈Y, ∀x∈X, P(x,y)」
・p.211　例16.3.5(2)：　コロンが全角になっている。
・p.214　枠の題目はピリオド止めが適切か。
・p.214　-2行目：　εの直後のピリオドは不要

誤植を指摘する際に注意すべきこと

旧バージョン

実数の連続性とε-δ論法（2018/02/27）

　・誤植を修正しました。
　・すべての練習問題に解答を加えました。
　・図を描きなおしました。

実数の連続性とε-δ論法（2017/10/02）

　・学期中にご指摘頂いた誤植を修正しました

実数の連続性とε-δ論法（2017/04/10）

　・ご指摘頂いた誤植を修正しました
　・一部の章を入れ替えました
　・下記について全体で約７０ページほど加筆しました：
　　　・第６章（実数値関数）の追加
　　　・第１２章（距離空間に関する諸概念）の追加
　　　・「機会があったら後日述べる」と書いていた部分をきちんと説明した
　　　・章末問題をつけた
　　　・図を加えた

実数の連続性とε-δ論法（2016/04/10）