微分積分学の試練　実数の連続性とε-δ



目次

第I部：数列の極限と実数の連続性
　第１章　集合概念の基礎
　第２章　実数の性質
　第３章　数列の極限とその性質
　第４章　数列の極限と実数の連続性

第II部：写像の基礎とε-δ論法
　第５章　写像概念の基礎
　第６章　実数値関数
　第７章　関数の極限
　第８章　連続関数
　第９章　指数法則

第III部：距離空間の幾何学
　第１０章　点列の収束と写像の連続性
　第１１章　位相
　第１２章　距離空間に関する諸概念
　第１３章　連結空間と中間値の定理
　第１４章　点列コンパクト空間

付録
　付録Ａ　より厳密な微分積分法へ
　付録Ｂ　命題と論理式

日本評論社による本書の紹介ページ


まえがき

本書の「まえがき」と「目次」が閲覧できます：

「まえがき」と「目次」

授業風景

YouTubeによる講義動画はこちら

・１章　Question　どこまでが明らかで、どこからが証明すべきことなのか基準がよく分かりません。

・２章　Question　授業で実数の構成（定義）を扱わないのはどうして？

・３章　Question　本書のはさみうちの原理の証明はまわりくどくないですか。

・４章　Question　開区間の共通部分 ∩_(n∈Ｎ) (0, 1/n) が空集合になることが感覚的に納得できません。

・７章　Question　関数の極限の定義には２つの流儀があるとのことですが、本書の流儀の方が面倒に思えます。


・付録Ｂ　Question1　逆ポーランド記法的な日本語の文がイマイチ読みとれないんですけど…

・付録Ｂ　Question2　論理の規則に関して、どうしてベン図を使って分かりやす説明してくれないんですか？


・定期試験１　定期試験２

誤植等

最終更新日：2021/09/17

数学的な間違いについて

・p.64　練習3.7　　誤：　ｂｎ＞０　　正：　０＜ｂｎ＜２

細かい誤植

・p.2　6行目：　　「二年生」の「二」は数字のほうがいいのでは。

・p.20　例1.6.2において「斜線」と説明しているが、図1.1の領域は斜線で表示されていない。

・p.27　命題2.2.2のピリオドの全角・半角の使い方がp.42の「再掲」と異なっている。

・p.28　1行目：　　文末のピリオドが半角になっている。

・p.28　5行目：　　ａより大きくかつｂ未満の実数「を」全体を

・p.43　定義：　　文末のピリオドが半角になっている。

・p.47　命題3.2.3(1)：　　ピリオド直前に空白あり。

・p.48　-5行目：　　「前節」とあるがこれは「前前節（3.1節）」のこと。

・p.52　命題3.4.3：　　文末のピリオドが半角になっている。

・p.54　-1行目：　　中括弧と |α-ａ１| の間にある空白は仕様です（たぶん）。

・p.56　補題3.6.2の箇条書きにおけるカンマとピリオドの全角・半角はそろえた方がよいか。

・p.62　2行目：　　ａｎ−ｄｎ＝−（−１）ｎ

・p.67　図4.1：　　誤：　小数点切り捨て　　正：　小数点以下切り捨て

・p.77　命題4.7.2　証明(2)　2行目：　　誤：　Ｓｎ:=Σａｎ　　正：Ｓｎ:=Σ|ａｎ|

・p.101　命題6.2.1　証明　5行目：　　文末のピリオドが半角になっている。

・p.101　コラム　4行目：　　誤：　l'　　正：　l２

・p.105　練習6.5.6：　　誤：f(x)　　正：g(x)

・p.114　4行目：　誤：　ａｎ＝ａ　　正：　ｘｎ＝ａ

・p.124　系8.1.4　1行目：　　誤：連続関数　　正：関数

・p.160　例10.6.3　証明　1,3行目：　　誤：f(x)　　正：f(x,y)

・p.170　練習10.7　2行目：　　ピリオドが半角になっている。

・p.172　脚注：　εの字体が他と違う。

・p.173　4行目：　　誤：定理10.4.4(ii)　　正：定義10.4.4(ii)

・p.173　図11.1：　　集合の定義に現れる変数 ｙ は、グラフでいう ｘ２ のこと。

・p.200　練習12.2(2)：　末尾のピリオドが半角になっている。

・p.208　6行目：　　文末のピリオドが半角になっている。

・p.231　条件(Ｌ)の否定とは、正確には「∃x∈X, ∀U∈ｕ, N(x,ε)⊂Uでない」のことであるが、
　　　　 証明内の条件 ¬(Ｌ) では、この一部分「∀U∈ｕ, N(x,ε)⊂Uでない」のみとなっている。

・p.256　ｍｉの定義直後のカンマ前に不要な空白あり。

・p.262　B.2節　3行目：　　文末のピリオドが半角になっている。

・p.279　解答例2.4(5)　-3行目：　　誤：　supＡ−supＢ−δ　　正：　supＡ−infＢ−δ

・p.280　解答例3.2　2行目：　εの字体が他と違う。

・p.288　5行目：　　誤：　|ａｍ−ａｎ|＜ε　　正：|ａｃｍ−ａｃｎ|＜ε

・p.290　解答例11.8(1)　2行目：　　誤：　列ａｎとれば　　正：　列ａｎをとれば

・p.293　解答例12.10　(4)⇒(3)：　練習4.1で示した事は「αに収束するＡ上の数列が取れる」であり、
　　　　　　　　　　　　　　　　　これが単調列として取れることは別途示すべきことである。
　　　　　　　　　　　　　　　　　例えばＡ上の数列ａｎがα＝supＡに収束するとき、
　　　　　　　　　　　　　　　　　ｂｎ＝max{ａ１, …, ａｎ}はαに収束する単調増加列である。

その他

・p.28　例題2.3.4の解答における「ｘ＜ｔ＜ｙ」は「ｘ≦ｔ≦ｙ」としたほうが読みやすかったかもしれない。
　　　　もちろん、現行のままでも間違いではない（等号成立時の議論は明らかであるから）。

・p.38　命題2.8.1直後の説明にあるＭ＋１が、命題2.8.1におけるＭに相当しています。
　　　　ここは違う文字を用いた方がよかったかもしれません。

・p.52　命題3.4.2の証明において、｜ａｎ−α｜ を ｜α−ａｎ｜ と表示したほうが
　　　　統一感がとれたかもしれない。

・p.57　命題3.4.7(4)の証明において、これまでの証明の仕方をふまえて、
　　　　｜αβーａｎｂｎ｜の評価をしたほうが統一的でした。

・p.70　(Step 2)において「上半分と下半分」とあるが、これは「下半分と上半分」あるいは
　　　　「左半分と右半分」としたほうが読みやすかった。(Step 3)についても同様。

・p.113　図7.1では、原点における関数の値が０であると分かるように
　　　　原点を黒丸で表示したほうが分かりやすかったかもしれません。

・p.120　定義7.4.3　3行目：　　文末が定義7.1.1, 7.4.1, 7.4.2 と異なっている（統一したほうがよいか）。

・p.122　練習7.2：　「点列」は「数列」としたほうが親切（２ヵ所）。

・p.146　3行目のピリオドを半角にしているのは、4行目が半角のため見栄えを考えてのことか。

・p.157　定義10.4.1の2行目では d(ａｎ, ａ) と d(ａ, ａｎ) の両方が現れている。
　　　　 いずれで表示しても間違いではないが、同一行内では統一したほうがよかった。

・p.161　ｘｙの定義域が図示されているが、ｘ＜０のときもｙが整数ならｘｙは定義できるのではないか。
　　　　　回答：ここでは、連結になる範囲で定義域を指定しています。

・p.165　補題10.7.8証明：　(1)の文末ピリオドが全角なのは、(2)文末が全角のため見栄えを考えてのことか。

・p.165　命題10.7.p証明：　数式の文末ピリオドが全角（２件）なのは、前後の見栄えを考えてのことか。

・p.191　３行目 d(ｘ, ａ) は d(ａ, ｘ) の方がよい。

・p.220　定理14.1.7証明　3行目：　Ｒｎ は Ｒ２ とした方が親しみやすい。

・p.232　定理14.7.1の直後のΣ記号の添え字に ｉ を用いている。
　　　　虚数単位との混同をさけるため、別の記号を用いた方が適切か。

・p.248　中央揃え末尾のピリオドが半角になっているが、これは数式とみなしたためです。

・p.280　解答3.5　1行目：　　「Ｍｎ:＝」「Ｍ＝」と統一感がない。

・p.294　解答例13.4(2)：　　「定数関数としてのf|Aの拡張を」よりも「f|Aの, 定数関数としての拡張を」の方が誤読率が低いか。

・p.297　第二段落1行目：　「平行」は「併行」のほうがベターか。

印刷工程に関する不具合

・p. 212　例13.5.4証明(3)　2行目：　Ｎの印刷がかすれている。
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