線形代数学講義ノート
最新版はこちら： 2022/04/04 更新
線形代数学講義ノート(2022/04/04ver) （最新版になります）
雑誌『数学セミナー』（日本評論社）で連載しました（2023年4月号〜2024年3月号）。
教材として、こちらもご活用ください（図書館でバックナンバーを閲覧できます）。
線形代数の学習について素朴な疑問をお持ちの方は参考にしてみてください。
最新版において判明している誤記等（最終更新日：2025/4/27）
こちらもお読みください：
・p.1 5行目： 誤：労するする 正：労する
・p.30 -1行目： 誤：信じてしてしまう 正：信じてしまう
・p.31 13行目： 誤：にも関わらず 正：にも拘らず
・p.31 14行目： 誤：事実あり 正：事実であり
・p.32 16行目： 誤：あるの式 正：ある式
・p.33 定義4.5.1 1行目： 誤：をすべてを満たす 正：をすべて満たす
・p.33 練習4.5.2： (8)の O がイタリック体でない
・p.38 コラムのタイトル： 連立１「次」方程式の役割
・p.51 -9行目： 誤：初項が3の等比数列全体 正：公比が3の等比数列全体
・p.63 命題8.4.4証明 -1行目： 誤：補題8.4.6 正：補題8.4.7
・p.64 補題8.4.6(2)証明 3行目： 誤：a1,…,am-1 正：a1,…,am_0-1
・p.66 1行目： 誤：Ｓ4 正：Ｓ3
・p.67 14行目： 誤：つくしている 正：出つくしている
・p.84 1行目： 右端の解説における n-1 がイタリック体でない
・p.86 定義12.1.1： 誤：bijection 正：bijective
・p.93 6行目： ｎ次正方行列「と」する
・p.101 1行目： 誤：第VI部の19章 正：第IV部の19章
・p.102 コラム5行目： 誤：にも関わらず 正：にも拘らず
・第15章 ： -xの定義、r0=0の証明、x-yの説明がない。
・p.117 5行目： 誤：(x,y)=(rx,rb) 正：(x,y)=(ra,rb)
・p.117 (3)証明3行目： 誤：にも関わらず 正：にも拘らず
・p.121 1行目： 「固定しておく」のあとは カンマ→ピリオド
・p.136 -7行目： 誤：Ｖの部分空間である 正：Ｕの部分空間である
・p.140 4行目： 誤：１対１の対応であるという 正：１対１の対応という
・p.141 練習19.2.5の直後 誤：f([0, √3]) 正：f([-√3, √3])
・p.146 -5行目： 誤：並行移動 正：平行移動
・p.152 -2行目： 誤：なけれな 正：なければ
・p.156 コラム14行目： 誤：にも関わらず 正：にも拘らず
・p.158 -7行目： 誤：Ｐ(f(x1), …, f(xn)) 正：Ｐ(f(u1), …, f(un))
・p.185 3行目： 誤：挙げて 正：上げて
・p.211 27.4節 1行目： 誤：抑えて 正：押さえて
・p.211 命題27.4.2(3)： 誤：基底を取れば 正：基底とすれば
・p.219 例28.2.4 2行目： 誤：等比 正：公比
・p.239 誤：定理30.0.11 正：定理30.0.1
・p.240 命題30.3.1証明 2行目： 誤：Φ(A) 正：ΦA(A)
・p.245 命題31.1.1証明 1行目： 誤：初項が0で第1項が2 正：初項が0で第2項が2
・p.248 補題30.3.2証明 3行目： 仮定「す」ると
・p.251 -3行目： 誤：r_1, r_2 正：C_1, C_2
・p.253 5行目： W「上」の線形変換
・p.253 8行目： 誤：(z(a), z'(a), …, z^(k-1)(x)) 正：(z(a), z'(a), …, z^(k-1)(a))
・p.253 14行目： 誤：(ξ(a), ξ'(a), …, ξ^(k-1)(x)) 正：(ξ(a), ξ'(a), …, ξ^(k-1)(a))
・p.255 命題27.3.7 2行目： 微分方程式「の」一般解
・p.268 定理34.2.1証明 1行目： (t-λ_2)の冪が n_3 になっている。
・p.276 命題35.3.2証明 1行目： 誤:r_i 正：r_j
・p.277 1行目： 誤：e_i 正：e_j
・p.278 定理35.4.1証明 4行目： 線形「次」独立
・p.308 14行目： 一般の射影に「に」ついても
・p.312 命題39.2.10(2)(iv)： 誤：f(F-1)(y) 正：f(F-1(y))
・p.313 定義39.4.1 2行目： など「と」よび
・p.314 -9行目： 分「か」る
・p.316 -5行目： 誤: (z+z)(-i)/2 正： (z-z)(-i)/2
・p.320 脚注6 3行目： 線形独立「で」ある
・p.321 命題39.8.2証明 二つ目の中央揃えの式： 一つ目の等号直後の二つのnのうち、片方はm。
二つ目の等号以降は＜v_m,v_n＞の計算が続いている。
・p.322 5行目： 馴染みがある「という人もいる」かもしれない
・p.322 7行目： これ以降は、fは周期2πの実数値関数としてください。
（fが実数値関数の時、z_n と z_(-n) は共役の関係になります。）
・p.323 2行目」 誤：ルベール積分 正：ルベーグ積分
・p.325 [5]： ピリオド抜け
更新履歴
2022/04/04
・頂いた誤記を修正しました。
・第I部と第II部を全面改訂しました。これで少しは読みやすくなったと思います（たぶん）。
・4.8節を加え、9.3節を削除しました。
・いくつかの長めのコラムを節に格上げしました。
○今後の予定
・手書きの図の改定
・ジョルダン標準形の単元
以下は旧バージョンになります。ダウンロードする際はご注意ください。
・誤記を修正しました。
・第VI部「計量ベクトル空間」を加えました。
・第28章「双対空間(発展)」を加えました。
・ケーリー・ハミルトンの定理の節を、章として独立させました（第30章）。
・22.4節において、命題22.4.9以下を加えました。
・14章と19章の内容を少し削りました。
・昨年度に指摘頂いた誤植を修正しました。
・節を章に、項を節に格上げしました。
・第１章の序文を削りました。
・１４章以降の用語を索引を加えました。
・４章３節を加筆しました。
・旧§6.3を加筆し、これを６章の３節と４節に分けました。
・命題13.2.5を加えました。
・本書では「対角化」の用法が他と異なり、その点の注意を付しました。
・「第１同型定理」を「準同型定理」と表記していた部分を修正しました。
・２８章１節の後半、４節〜５節を加筆しました。また２節にコラムを加えました。
・ケーリー・ハミルトンの定理の証明(p.223〜224)を、転置行列が現れない自然な形に書き直しました。
もしかすると書き直す前のほうが分かりやすかったかもしれません。
・命題31.2.6、命題32.4.5を加えました。
・ご指摘頂いた誤植を修正しました。
・13節までに現れた用語を索引に加えました。
・練習8.5.5に(2)を追加し、(3)の証明を短くしました。
・命題20.1.10(2)を追加しました。
・練習27.3.9を追加しました。
・5.1項と15.2項にコラムを追加しました（「行列の割り算」「文字列と多項式」）
・ご指摘頂いた誤植を修正しました。
・旧§29を§31と改め、その間に漸化式と微分方程式の単元を加えました。
・§32を追加しました。
2017/02/28verの誤植の一覧
●春学期分について
・ご指摘頂いた誤植を修正しました。検討の結果、修正しなかった部分もあります。
・目次を追加しました。これによりページ数が大幅に変更されることになりました。
●秋学期分の大きな変更点
・§21.3を分割しました。
・前バージョンの命題22.5.1(2)(3)は間違っていたため削除しました。
間違っていた理由を§18.4命題18.4.3の後の箇条書きの欄に述べました。
・命題23.3.6の同値条件さらに細かくしました。
・例23.5.4の説明を加筆しました。
・§29のタイトルを変更しました。
●全体的な変更点： 前期分について、次の修正をおこないました：
・任意定数を用いて表した連立１次方程式の解のことを一般解と呼んでいました。このこと自体は間違いではないのですが、本論では解をすべて出しつくすことを強調しており、すべての解のことを一般解と呼んでいると誤解される恐れがあります。そこで、一般解という語句は控えるようにしました。
・英語表記がなかった部分をいくつか加筆しました。
・１ページ１ヶ所程度の細かい修正（誤字脱字等）をしました。
以上は後期分についても修正すべき部分ですが、これは後日行います。
●各部分での変更点：
・冗長過ぎた「はじめに」を簡素化し、１節の前半を再検討しました。
・４節の前半の項を細かく分けました。
・６．２項の後半を新しい項に分けました。
・後期部分のページのずれを解消しました。
2015/5/7
・命題2.3.1(5)の証明に誤植があり訂正し、この証明を３節に移動しました。
・２節を僅かに加筆修正しました。
・１節を加筆修正しました。
（高校のカリキュラム変更により行列概念が既知でなくなったため）
・２節の転置行列の項目について、順番の入れ替えおよび加筆をしました。
・そのほか１３節までの部分で細かい修正をしました。
・１４節以降は前回の更新のときと変わりありません。
（ページ数が１３節の最後とだぶってしまっており、後で修正します）
2015/1/29
・春学期分について、次の誤植が３か所あり、直しました。 誤：連立１方程式 正：連立１次方程式
・２５節〜２９節において多数の誤植を修正し、一部の変数の文字を変更しました。
・２５節〜２８節の修正において特に大きな部分は次の通りです。
いずれも試験範囲に変更が生じるような加筆ではありません。
・練習25.3.1の証明： 誤：A=B 正：A-B
・27.2節における二つの議論を(I)、(II)と番号付けた。また、基底の文字を変更した。
・例題27.4.2(3)： 誤：ｔ 正：λ
・練習27.4.4(1)：一部のｄがｂになっていた
・定理28.2.1の証明の中で、27.2項で述べたことと重なっている部分の説明を付け足しました。
・定理28.3.1の同値条件を一つ付け加えました。
・２９節の大きな変更は次の通りです。命題番号が入れ替わっているものがあります。
・備考29.2.2の位置を補題29.2.3の後へ移動しました。
・補題29.3.4から例29.3.6までを一つの項として独立させ、旧29.3項の前に移動しました。
・系29.4.2を加えました。
・２９節を加えました。
・練習22.4.7を加えました。
・系26.2.4の主張を加筆しました。
・定義26.3.3および練習26.3.4を加えました（行列の相似）。
・例27.3.6および練習27.3.9を加えました。
・２８節において、冒頭で体Ｋと書くと述べたにもかかわらずＲのままにしていた部分がいくつもあったゆえ、
これを訂正しました。
・このほか１４〜２８節について一部の修正をしました。
・春学期分の内容についての更新はありません。
2014/12/14
・２５節〜２８節を加えました。
・１９節において次のような加筆をしました：
・練習19.2.5、練習19.3.3、命題19.4.4を加えました。
・定義19.1.4を削除・修正しました。
・２１節において21.4項（線形変換と多項式）を加えました。
・１〜１３節について一部の修正をしました。
2014/11/20
・２１節〜２４節を加えました。
・１〜１３節について一部の修正をしました。この中で大きな変更は次の通りです：
・命題2.4.1の(5)と(16)の証明を加えました。
・３節の冒頭にクロネッカーのデルタを挿入しました。
・１４〜２０節について、誤字等の細かい修正を行いました（７割近くのページで修正をしています）。
この中で、大きな修正は次の通りです：
・１４節の正多面体の定義が間違っていたので直しました。
・例14.1.5を加えました。
・例題17.3.3に注意２を付け足しました。
・命題18.4.4(2)を加えました。
・定義19.1.5（定数関数）を加えました。
・定義19.2.4において、写像の拡張についても述べました。
・備考19.3.4を付け足しました。
・命題20.3.7および20.3.8を23節に移動しました。
・新たに練習20.3.7および例20.4.7を加えました。
2014/10/01
・１４節〜２０節を加えました。
・pdfのファイル名を修正しました。
・一部の文章の細かい修正を行いました。
・4.4項の連立１次方程式の解法の計算が間違っていたため直しました。
・5.3項における逆行列の計算において、求めた行列ＢがＡの逆行列であることを示すのに
未証明の定理を引用していましたが、それが不要であることが分かり修正しました。
・上の修正と関連することとして, 定理6.2.2の(2)⇒(5)の証明における補足を削除しました。
・式変形の説明を後でまとめて述べるスタイルが読みにくいとの要望を受け、
なるべく式の途中に説明が入るよう修正しました。
・ヴァンデルモンドの行列式を加えました（定理11.2.2）。
・12.1項の補題の証明を変更し、もともとあった補題は8.4項の練習問題としました。
・定理5.3.1の証明を修正しました（これは授業中に指摘済み）
2014/07/17
次のような修正を行いましたが、いずれも試験範囲に変更が生じるような加筆ではありません。
・「はじめに」を加筆しました。
・５節（可逆行列）にて、次の点について加筆しました：
・基本行列の成分表示を図示しました。
・5.4項（列に関する基本変形との関係）を述べました。
・命題8.3.5の説明の２段落目における「最初に現れる重複元」という表現が曖昧であったため、
より具体的な説明に書き直しました。
・句読点等の脱字を修正しました。
2014/07/10
・１１〜１２節（行列式の性質の証明、余因子展開とクラメルの公式）を加えました。
・誤字脱字等、読みにくい部分を修正しました。
・一部の定義や例の分割・統合を行い、前回の版と定理番号がずれているものがあります。
・３節（行列の表し方）について次を書き加えました：
・転置行列の定義をより詳しく書き直しました。
・t(AB)=tBtAの証明を与えました。
・行列の分割による積ABのベクトル表示を加えました（例3.4.1）。
・４節（連立1次方程式のと行列）について次を書き加えました：
・4.5項（一般解の形と任意定数の数について）を加えました。
・上にともない4.4項を書き少しだけ加えました。
・補題9.3.2の証明におけるinv(X)-inv(Y)はinv(Y)-inv(X)の間違いです。これを訂正しました。
2014/06/25
・１０〜１１節（行列式の定義と性質、計算例）を加えました。
・一部の誤字脱字等を修正しました。
・９節まで（置換とその符号まで）を公開しました。
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