線形代数学講義ノート



最新版はこちら: 2020/05/03 更新

 線形代数学講義ノート(2020/05/03ver) (最新版になります)
(注意:2020/05/02verの誤植が見つかり、これを修正して2020/05/03verとしました。)

第II部まで(1章〜13章)が前期(春学期)の範囲になります。


YouTubeによる講義動画はこちら:  前期  後期



最新版において判明している誤植等(最終更新日:2021/5/6)

こちらもお読みください:

誤植を指摘する際の注意点


・「A,BおよびC」とすべきところが「AおよびB,C」となっている(第II部までで計6ヵ所。第III部以降もあり)

・p.8  2行目:  誤:ユーリッド空間  正:ユークリッド空間
・p.30 -3行目:  (i)の文において、格助詞の「を」が連続して現れていて読みにくい。
・p.39 W_m(i,j)とK_m(i,j;r)の表示に現れる「←n行目」は「←m行目」の間違い
・p.47 命題6.4.1 2行目:  ピリオドなし(文法上間違いではないが、命題6.4.2, 6.4.3の記述と合っていない)。
・p.47 命題6.4.1 4行目:  誤:方程式(II)の解  正:方程式(I)の解
・p.49 例題6.4.4 1行目:  誤:yn=3yn+8  正:yn+1=3yn+8

・p.64 3行目:  「まずはじめに」は重複表現

・p.89 練習13.1.1の直後:  命題11.1.1「に」おける

・p.115 練習16.3.4 1行目:  誤:a_2  正:a_1
・p.125 補題18.2.5 証明2行目:  誤:i=i  正:i=1

・p.134 8行目  誤:定置  正:定値
・p.142 -3行目  誤:定置  正:定値
・p.144 -8行目  誤:定置  正:定値
・p.146 命題20.2.3証明 8行目:  「かける」は「書ける」のほうが適切か。
・p.152 2行目:  似たもの「を」どうしを
・p.152 3行目:  「まずはじめに」は重複表現

・p.155 -12行目: bf は不要。
・p.163 命題22.3.3 証明(3):  基底「で」となる
・p.191 最初の中央揃えの式における「…」とカンマの間、およびカンマ後にクワタがあった方が適切か。


・p.222 対角化の仕方の枠内 (3):「…λ_k」においてカンマが抜けている
                  また(3)では次元だけでなく基底も求める必要がある。
               (5): 誤:(2)で求めた  正:(3)で求めた 
・p.232 命題30.2.1証明 5行目:  誤:定置  正:定値

・p.255 -2行目:  誤:冪例部分群  正:冪零部分空間
・p.275 命題36.1.1証明 2行目:  「両辺の転置を取りA tA=Eを得る」は間違い。
                  正しくは、これは正方行列の性質「AB=E ⇒ BA=E」から導かれる。

・p.293 6行目:  総和の範囲がk=1,2となっているが、正しくはk=0,1,2。

・p.309 備考39.4.11 2行目:  意味して「い」る
・p.314 -1行目:  誤:限らない  正:限らなかったりする
・p.315 積分記号下の変数tがxになってしまっている箇所が多数ある。

更新履歴

2020/05/03

・誤植を修正しました。
・第VI部「計量ベクトル空間」を加えました。
・第28章「双対空間(発展)」を加えました。
・ケーリー・ハミルトンの定理の節を、章として独立させました(第30章)。
・22.4節において、命題22.4.9以下を加えました。
・14章と19章の内容を少し削りました。

○今後の予定

・ジョルダン標準形の単元については将来更新します。


 以下は旧バージョンになります。ダウンロードする際はご注意ください。

2020/04/01 線形代数学講義ノート(2020/04/01ver)

・昨年度に指摘頂いた誤植を修正しました。
・節を章に、項を節に格上げしました。
・第1章の序文を削りました。
・14章以降の用語を索引を加えました。
・4章3節を加筆しました。
・旧§6.3を加筆し、これを6章の3節と4節に分けました。
・命題13.2.5を加えました。

・本書では「対角化」の用法が他と異なり、その点の注意を付しました。
・「第1同型定理」を「準同型定理」と表記していた部分を修正しました。
・28章1節の後半、4節〜5節を加筆しました。また2節にコラムを加えました。
・ケーリー・ハミルトンの定理の証明(p.223〜224)を、転置行列が現れない自然な形に書き直しました。
 もしかすると書き直す前のほうが分かりやすかったかもしれません。
・命題31.2.6、命題32.4.5を加えました。

2019/04/04 線形代数学講義ノート(2019/04/04ver)

・ご指摘頂いた誤植を修正しました。
・13節までに現れた用語を索引に加えました。
・練習8.5.5に(2)を追加し、(3)の証明を短くしました。
・命題20.1.10(2)を追加しました。
・練習27.3.9を追加しました。
・5.1項と15.2項にコラムを追加しました(「行列の割り算」「文字列と多項式」)

2017/02/28 線形代数学講義ノート(2017/02/28ver)

・ご指摘頂いた誤植を修正しました。
・旧§29を§31と改め、その間に漸化式と微分方程式の単元を加えました。
・§32を追加しました。


2017/02/28verの誤植の一覧

2016/10/05: 春学期分(1〜13節) 秋学期分(14節〜)

●春学期分について
・ご指摘頂いた誤植を修正しました。検討の結果、修正しなかった部分もあります。
・目次を追加しました。これによりページ数が大幅に変更されることになりました。

●秋学期分の大きな変更点
・§21.3を分割しました。
・前バージョンの命題22.5.1(2)(3)は間違っていたため削除しました。
 間違っていた理由を§18.4命題18.4.3の後の箇条書きの欄に述べました。
・命題23.3.6の同値条件さらに細かくしました。
・例23.5.4の説明を加筆しました。
・§29のタイトルを変更しました。

2016/3/13: 春学期分(1〜13節) 秋学期分(14節〜)

●全体的な変更点: 前期分について、次の修正をおこないました:

・任意定数を用いて表した連立1次方程式の解のことを一般解と呼んでいました。このこと自体は間違いではないのですが、本論では解をすべて出しつくすことを強調しており、すべての解のことを一般解と呼んでいると誤解される恐れがあります。そこで、一般解という語句は控えるようにしました。
・英語表記がなかった部分をいくつか加筆しました。
・1ページ1ヶ所程度の細かい修正(誤字脱字等)をしました。

 以上は後期分についても修正すべき部分ですが、これは後日行います。

●各部分での変更点:

・冗長過ぎた「はじめに」を簡素化し、1節の前半を再検討しました。
・4節の前半の項を細かく分けました。
・6.2項の後半を新しい項に分けました。
・後期部分のページのずれを解消しました。

2015/5/7

・命題2.3.1(5)の証明に誤植があり訂正し、この証明を3節に移動しました。
・2節を僅かに加筆修正しました。

2015/4/5: 春学期分(1〜13節) 秋学期分(14節〜)

・1節を加筆修正しました。
 (高校のカリキュラム変更により行列概念が既知でなくなったため)
・2節の転置行列の項目について、順番の入れ替えおよび加筆をしました。
・そのほか13節までの部分で細かい修正をしました。
・14節以降は前回の更新のときと変わりありません。
 (ページ数が13節の最後とだぶってしまっており、後で修正します)

2015/1/29

・春学期分について、次の誤植が3か所あり、直しました。 誤:連立1方程式  正:連立1次方程式
・25節〜29節において多数の誤植を修正し、一部の変数の文字を変更しました。

・25節〜28節の修正において特に大きな部分は次の通りです。
 いずれも試験範囲に変更が生じるような加筆ではありません。
  ・練習25.3.1の証明: 誤:A=B  正:A-B
  ・27.2節における二つの議論を(I)、(II)と番号付けた。また、基底の文字を変更した。
  ・例題27.4.2(3):  誤:t  正:λ
  ・練習27.4.4(1):一部のdがbになっていた
  ・定理28.2.1の証明の中で、27.2項で述べたことと重なっている部分の説明を付け足しました。
  ・定理28.3.1の同値条件を一つ付け加えました。

・29節の大きな変更は次の通りです。命題番号が入れ替わっているものがあります。
  ・備考29.2.2の位置を補題29.2.3の後へ移動しました。
  ・補題29.3.4から例29.3.6までを一つの項として独立させ、旧29.3項の前に移動しました。
  ・系29.4.2を加えました。

2014/12/30: 春学期分(1〜13節) 秋学期分(14節〜)

・29節を加えました。
・練習22.4.7を加えました。
・系26.2.4の主張を加筆しました。
・定義26.3.3および練習26.3.4を加えました(行列の相似)。
・例27.3.6および練習27.3.9を加えました。
・28節において、冒頭で体Kと書くと述べたにもかかわらずRのままにしていた部分がいくつもあったゆえ、
 これを訂正しました。
・このほか14〜28節について一部の修正をしました。
・春学期分の内容についての更新はありません。

2014/12/14

・25節〜28節を加えました。
・19節において次のような加筆をしました:
  ・練習19.2.5、練習19.3.3、命題19.4.4を加えました。
  ・定義19.1.4を削除・修正しました。
・21節において21.4項(線形変換と多項式)を加えました。
・1〜13節について一部の修正をしました。

2014/11/20

 ・21節〜24節を加えました。
 ・1〜13節について一部の修正をしました。この中で大きな変更は次の通りです:
  ・命題2.4.1の(5)と(16)の証明を加えました。
  ・3節の冒頭にクロネッカーのデルタを挿入しました。
 ・14〜20節について、誤字等の細かい修正を行いました(7割近くのページで修正をしています)。
  この中で、大きな修正は次の通りです:
  ・14節の正多面体の定義が間違っていたので直しました。
  ・例14.1.5を加えました。
  ・例題17.3.3に注意2を付け足しました。
  ・命題18.4.4(2)を加えました。
  ・定義19.1.5(定数関数)を加えました。
  ・定義19.2.4において、写像の拡張についても述べました。
  ・備考19.3.4を付け足しました。
  ・命題20.3.7および20.3.8を23節に移動しました。
  ・新たに練習20.3.7および例20.4.7を加えました。

2014/10/01

 ・14節〜20節を加えました。

 ・pdfのファイル名を修正しました。
 ・一部の文章の細かい修正を行いました。
 ・4.4項の連立1次方程式の解法の計算が間違っていたため直しました。
 ・5.3項における逆行列の計算において、求めた行列BがAの逆行列であることを示すのに
  未証明の定理を引用していましたが、それが不要であることが分かり修正しました。
 ・上の修正と関連することとして, 定理6.2.2の(2)⇒(5)の証明における補足を削除しました。
 ・式変形の説明を後でまとめて述べるスタイルが読みにくいとの要望を受け、
  なるべく式の途中に説明が入るよう修正しました。
 ・ヴァンデルモンドの行列式を加えました(定理11.2.2)。
 ・12.1項の補題の証明を変更し、もともとあった補題は8.4項の練習問題としました。
 ・定理5.3.1の証明を修正しました(これは授業中に指摘済み)

2014/07/17

 次のような修正を行いましたが、いずれも試験範囲に変更が生じるような加筆ではありません。

 ・「はじめに」を加筆しました。
 ・5節(可逆行列)にて、次の点について加筆しました:
   ・基本行列の成分表示を図示しました。
   ・5.4項(列に関する基本変形との関係)を述べました。
 ・命題8.3.5の説明の2段落目における「最初に現れる重複元」という表現が曖昧であったため、
  より具体的な説明に書き直しました。
 ・句読点等の脱字を修正しました。

2014/07/10

 ・11〜12節(行列式の性質の証明、余因子展開とクラメルの公式)を加えました。
 ・誤字脱字等、読みにくい部分を修正しました。
 ・一部の定義や例の分割・統合を行い、前回の版と定理番号がずれているものがあります。
 ・3節(行列の表し方)について次を書き加えました:
   ・転置行列の定義をより詳しく書き直しました。
   ・t(AB)=tBtAの証明を与えました。
   ・行列の分割による積ABのベクトル表示を加えました(例3.4.1)。
 ・4節(連立1次方程式のと行列)について次を書き加えました:
   ・4.5項(一般解の形と任意定数の数について)を加えました。
   ・上にともない4.4項を書き少しだけ加えました。
 ・補題9.3.2の証明におけるinv(X)-inv(Y)はinv(Y)-inv(X)の間違いです。これを訂正しました。

2014/06/25

 ・10〜11節(行列式の定義と性質、計算例)を加えました。
 ・一部の誤字脱字等を修正しました。

2014/04/02

 ・9節まで(置換とその符号まで)を公開しました。
もどる